Was ist die Definitionsmenge? - einfach erklärt

Was ist die Definitionsmenge?

Die Definitionsmenge wird in der Mathematik genutzt.

Sie beschreibt genau die Menge, mit den Elementen, die für eine Funktion benötigt wird, sie gibt an, welchen Wert x haben darf. In der Schulmathematik ist das Zeichen für Definitionsmenge bzw. Definitionsbereich D mit einem Doppelstrich am „D“

Wir sprechen von Funktionen, doch was ist dies eigentlich?

Eine Funktion f, ist eine Zuordnung bei dem jedem Element x des Definitionsbereichs D, ein Element y des Wertebereichs zugeordnet wird.
Aus dieser Definition können wir erkennen das eine Funktion aus dem Wertebereich, dem Definitionsbereich und einer Funktionsgleichung besteht.

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Was ist die Definitionsmenge – Christian Grün

Doch was genau bedeutet dies?

Hier ein Beispiel

f(x) = x + 2 -> D = R ( Definitionsmenge ist gleich alle reellen Zahlen(R), es darf jede Zahl benutzt werden
Würde jedoch das x unter einer Wurzel stehen, so muss der Definitionsbereich und somit x größer oder gleich 0 sein. Der Definitionsbereich darf keine negative Zahl sein.

Was sollten wir noch wissen, um den Definitionsbereich richtig zu erfassen und aufzuschreiben?

Wir fassen nochmal kurz Zusammen, welche verschiedenen Zahlen es gibt und die dazugehörigen Abkürzungen

Natürliche Zahlen = N, damit sind alle positiven ganzen Zahlen gemeint, dazu gehört auch die 0
Ganze Zahlen = Z, damit sind alle ganzen Zahlen gemeint, positive, sowie negative
Rationale Zahlen = Q, damit sind alle Zahlen gemeint, die durch einen Bruch mit einem ganzzahligen Zähler und Nenner aufgeschrieben werden können ( jede Ganze, sowie jede Natürliche Zahl ist auch eine Rationale Zahl )
Reelle Zahlen = R, reelle Zahlen sind alle Zahlen, rationale, sowie irrationale.

Diese verschiedenen Zahlentypen beschreiben ebenfalls den Definitionsbereich in einer Funktion und grenzen ihn ein, wie in der Beispielaufgabe erkenntlich. D{R}

Der Definitionsbereich als Aufgabensteller

Durch den Definitionsbereich wird uns gezeigt, in welchem Bereich sich das Element x aufhalten darf D(1,2,3), somit ist klar, dass x eine Natürliche Zahl ist und wir nur Natürliche Zahlen bis 3 in die Funktion einsetzen dürfen. Dies wird uns in dem Fall vom Definitionsbereich vorgeschrieben.

Den Definitionsbereich berechnen

Es gibt natürlich auch andere Aufgaben, in denen ist der Definitionsbereich nicht vorgegeben, sondern du sollst ihn berechnen, dazu hier ein kurzes Beispiel

f(x) = 3x-6
6=3x
2=x

Genau in dieser Definitionsmenge darf sich x in der Funktion befinden. Dies ist eine Funktionsgleichung.

Der Wertebereich gibt an welcher y-Wert in einer Funktion ist.

Ist der Definitionsbereich bei D=(1,2,3) angegeben, so wissen wir jetzt, dass wir in die Funktionsgleichung y=2x nur y = 2*1; y=2*2; y=2*3 eingeben dürfen und somit der y-Wert berechnet werden kann. Somit kann der Wertebereich 2, 4 bzw. 6.

Besonderheiten

Es gibt im Definitionsbereich auch Definitionslücken, diese findest du zum Bespiel, wenn aus dem x eine Wurzel gezogen wird, denn dann muss x eine positive Zahl sein, oder wenn unter einem Bruch 0 steht, dann ist dies ebenfalls eine Definitionslücke. Meist handelt es sich dabei um reelle, stetige bzw. differenzierbare Funktionen.

Divisionen durch 0 sind wie du weißt, nicht erlaubt, es entsteht auch somit eine Definitionslücke, den x – Wert für den der Wert gleich 0 ist musst du aus dem Definitionsbereich ausschließen.
Bei gebrochen-rationalen Funktionen,setzt du die Nennerfunktionsgleichung auf 0 und berechnest dann aus der entstandenen Gleichung den Definitionsbereich.

Beispiel :

f(x) = x³ -7 (Bruchstrich) 3x*(x-2) dies gilt es zu berechnen.

x1 = 0
x2 = 2

Definitionsbereich ; D {R(0;2)}

Bei Logarithmusfunktionen gibt es nur einen Definitionswert, wenn der innere Wert größer 0 ist:

f(x) = ln(5x+10)
5x +10 > 0
5x > -10
x > -2 D {x€R/x>-2}